Question

已知兩個正變量x，y滿足x+y=4，則使不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立?m≤(

1

x

+

1

y

)min．利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)可得

1

x

+

1

y

的最小值．

解答： 解：不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立?m≤(

1

x

+

1

y

)min．
∵兩個正變量x，y滿足x+y=4，
∴

1

x

+

1

y

=

1

4

(x+y)(

1

x

+

1

y

)=

1

4

(2+

y

x

+

x

y

)≥

1

4

(2+2

y x • x y

)=1，
∴m≤1．
∴使不等式

1

x

+

1

y

≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．