Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），有下列五個(gè)命題：
①不論a，b為什么值，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②若a=b≠0，函數(shù)f（x）的極小值是2a，極大值是-2a；
③若ab≠0，則函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線都不可能經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；
④當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，對(duì)函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)A，都存在唯一的點(diǎn)B，使得tan∠AOB=

1

a

（其中點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
⑤當(dāng)ab≠0時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)的切線與直線y=ax及y軸所圍成的三角形的面積是定值．
其中正確的命題是

 

（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①可以判斷該函數(shù)是奇函數(shù)，由此說(shuō)明；
對(duì)于②當(dāng)a=b時(shí)，y=a(x+

1

x

)，當(dāng)a＜0時(shí)，不滿足題意；
對(duì)于③可先用切點(diǎn)把切線方程表示出來(lái)，然后將（0，0）代入，只要是無(wú)解即可說(shuō)明；
對(duì)于④不妨令y=x+

1

x

，此時(shí)a=1，然后由x+

1

x

-x=

1

x

，當(dāng)x→+∞時(shí)，

1

x

→0，可知y=x是函數(shù)y=x+

1

x

的漸近線；由此進(jìn)一步可以判斷該命題為假；
對(duì)于⑤先表示出任意一點(diǎn)處切線的方程，然后求出該切線與y=ax，y軸的交點(diǎn)，則三角形的三個(gè)交點(diǎn)可以求出，面積可求．

解答： 解：對(duì)于①：定義域?yàn)閧x|x∈R，x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f（-x）=-f（x）恒成立，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，故①為真命題；
對(duì)于②：當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax+

a

x

，y′=a-

a

x2

=

a(x+1)(x-1)

x2

，當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，y′＜0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，y′＞0，所以當(dāng)x=1時(shí)，y_極大=2a；x=-1時(shí)，y_極小=-2a，故②為假命題．
對(duì)于③：假設(shè)存在過(guò)原點(diǎn)的切線，設(shè)切點(diǎn)為（m，am+

b

m

），則切線斜率為a+

b

m2

，又y′=a-

b

x2

，所以a+

b

m2

=a-

b

m2

，即b=0，與已知矛盾，故不存在這樣的切線．故③為真命題．
對(duì)于④：令f（x）=x+

1

x

，則再令g（x）=x，則f（x）-g（x）=

1

x

，當(dāng)x→+∞時(shí)，

1

x

→0，所以g（x）=x是函數(shù)y=x+

1

x

的漸近線，做出函數(shù)f（x）的圖象如下：

此時(shí)可以看出，在函數(shù)f（x）圖象上任取兩點(diǎn)A，B，∠AOB＜

π

4

或∠AOB＞

3

4

π，所以tan∠AOB＞1或-1＜tan∠AOB＜0，即此時(shí)不存在這樣的兩點(diǎn)A，B使得tan∠AOB=

1

a

=1，故④為假命題．
對(duì)于⑤：由題意設(shè)切點(diǎn)為(x0，ax0+

b

x0

)，y′=a-

b

x2

，所以切線方程為y-（ax₀+

b

x0

）=（a-

b

x02

）（x-x₀）①，直線y=ax②，
由①②聯(lián)立得交點(diǎn)為（2x₀，2x₀），對(duì)于①令x=0得切線與y軸交點(diǎn)為（0，

2b

x0

），原點(diǎn)為（0，0），
所以圍成的三角形面積為

1

2

•

2b

x0

•2x0=2b．是定值，故⑤是真命題．
故答案為①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值、切線中的應(yīng)用，有一定難度．