Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，與曲線C：ρ=

2

交于A，B兩點(diǎn)，已知|AB|≥

6

．
（1）求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在曲線C圍成的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P所表示的圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）直接利用參數(shù)方程中消去參數(shù)，求解，然后，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的關(guān)系求解；
（2）首先，計(jì)算圓心到直線的距離，然后，求解其面積即可．

解答： 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，得
ρ（cosθcos

π

3

+sinθsin

π

3

）=

a-b

2

，
∴ρ（

1

2

cosθ+

3

2

sinθ）=

a-b

2

，
∴x+

3

y-（a-b）=0，
曲線C：ρ=

2

，
∴ρ²=2，
∴x²+y²=2，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程x²+y²=2，
（2）圓心O到直線l的距離d=

|a-b|

2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

2- (a-b)2 4

=

8-(a-b)2

≥

6

，化為（a-b）²≤2．
a，b滿足

|a|≤ 2 |b|≤ 2 a2+b2≤2

，∴-

2

≤b-a≤

2

．
∴點(diǎn)P所表示的面積S=π×（

2

）²-2×[

1

4

×π×（

2

）²-

1

2

×（

2

）²]=π+2．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了直線的參數(shù)方程和普通方程、圓的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．