【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為正方形,四邊形為直角梯形,且, ,平面平面,

)求證: 平面

)若二面角為直二面角,

i)求直線與平面所成角的大。

ii)棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)i,(ii見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:1)連結(jié)BD,設(shè)AC∩BD=O,設(shè)GDE的中點(diǎn),連結(jié)OG,FG,推導(dǎo)出四邊形AOGF為平行四邊形,從而ACFG,由此能證明AC平面DEF
2)(i)以A為原點(diǎn),AD,AB,AF分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AC與平面CDE所成角的大小.
ii)假設(shè)棱DE上存在點(diǎn)P,使得BP平面DEF.設(shè),,設(shè)P(x,y,z),求出P點(diǎn)坐標(biāo)為,從而,由此能求出DE上存在點(diǎn)P,使得BP⊥平面DEF,且.

試題解析:

)證明:連接

∵四邊形為正方形,

中點(diǎn),

設(shè)的中點(diǎn),連接, ,

,且,

∵四邊形為直角梯形,且,

,且,

,且

∴四邊形為平行四邊形,

,即,

又∵平面, 平面,

平面

)(i)由已知, , ,

,

∵二面角為直二面角,

∴平面平面,

平面,

, ,

又四邊形為正方形,

兩兩垂直,

為原點(diǎn), , , 分別為, , 軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示,

得: , , , , ,

, ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則:

,即,

,則,

,

設(shè)直線與平面所成的角為,則有:

,

,

即直線與平面所成角的大小為

ii)假設(shè)棱上存在點(diǎn),使得平面,

設(shè),則,

設(shè),則,

,

, ,

解得, , ,

點(diǎn)坐標(biāo)為,

,

, ,

,即

解得

上存在點(diǎn),使得平面,且

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;

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