Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1，1≤x≤2 x-1，2＜x≤3

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a∈R，記函數(shù)g（x）的最大值與最小值的差為h（a）．
（Ⅰ）求函數(shù)h（a）的解析式；
（Ⅱ）畫出函數(shù)y=h（x）的圖象并指出h（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意先求出函數(shù)g（x）的解析式，再由一次函數(shù)的單調(diào)性和x的范圍對(duì)a進(jìn)程分類討論，利用一次函數(shù)的單調(diào)性以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，分別求出函數(shù)的最大值、最小值，再求出最大值與最小值的差為h（a），最后用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)；
（Ⅱ）根據(jù)h（a）的解析式畫出函數(shù)圖象，由圖求出h（x）的最小值．

解答： 解：（I）由題意得，g(x)=

1-ax，1≤x≤2 (1-a)x-1，2＜x≤3

，
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)g（x）是[1，3]增函數(shù)，
此時(shí)，g（x）_max=g（3）=2-3a，g（x）_min=g（1）=1-a，所以h（a）=1-2a；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)g（x）是[1，3]減函數(shù)，此時(shí)，g（x）_min=g（3）=2-3a，g（x）_max=g（1）=1-a，所以h（a）=2a-1；
（3）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，若x∈[1，2]，則g（x）=1-ax，有g(shù)（2）≤g（x）≤g（1）；
若x∈[2，3]，則g（x）=（1-a）x-1，有g(shù)（2）≤g（x）≤g（3）；
因此，g（x）_min=g（2）=1-2a，而g（3）-g（1）=（2-3a）-（1-a）=1-2a，
故當(dāng)0≤a≤

1

2

時(shí)，g（x）_max=g（3）=2-3a，有h（a）=1-a；
當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，g（x）_max=g（1）=1-a，有h（a）=a；
綜上所述：h(a)=

1-2a，a＜0 1-a，0≤a≤ 1 2 a， 1 2 ＜a≤1 2a-1，a＞1

．
（II）畫出y=h（x）的圖象，如右圖．
數(shù)形結(jié)合，可得h(x)min=h(

1

2

)=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的最值，以及函數(shù)的單調(diào)性與圖象的應(yīng)用，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想．