【題目】如圖，在平行四邊形中，，，現(xiàn)沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點(diǎn)共面.

（1）求證：；

（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理，//，最后可得結(jié)果.

（2）根據(jù)二面角平面角大小為，可知N為的中點(diǎn)，然后利用建系，計(jì)算以及平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

（1）不妨設(shè)，則，

在中,

，

則，

因?yàn)?/span>，

所以，因?yàn)?/span>//，

且A、B、M、N四點(diǎn)共面，所以//平面.

又平面平面，所以//.

而，.

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，且，

所以平面，，

因?yàn)?/span>，所以平面，，

因?yàn)?/span>，平面與平面夾角為，

所以，在中，易知N為的中點(diǎn)，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由，

令，得.

設(shè)與平面所成角為，

則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，隨著國(guó)家綜合國(guó)力的提升和科技的進(jìn)步，截至2018年底，中國(guó)鐵路運(yùn)營(yíng)里程達(dá)13,2萬千米，這個(gè)數(shù)字比1949年增長(zhǎng)了5倍；高鐵運(yùn)營(yíng)里程突破2.9萬千米，占世界高鐵運(yùn)營(yíng)里程的60%以上，居世界第一位下表截取了2012--2016年中國(guó)高鐵密度的發(fā)展情況（單位：千米/萬平方千米）.

年份

2012

2013

2014

2015

2016

年份代碼

1

2

3

4

5

高鐵密度

9.75

11.49

17.14

20.66

22.92

已知高鐵密度y與年份代碼x之間滿足關(guān)系式（為大于0的常數(shù)）若對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得到，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān).

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程（保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）利用（1）的結(jié)論，預(yù)測(cè)到哪一年高鐵密度會(huì)超過30千米/平方千米.

參考公式設(shè)具有線性相關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)為，

則回歸方程的系數(shù)：，.

參考數(shù)據(jù)：，，，，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作拋物線的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和的最小值是（ ）

A.7B.6C.5D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為，且過點(diǎn)，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).

(Ⅰ)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值；

(Ⅱ)過點(diǎn)與直線平行的直線與曲線 交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，直線， 分別與軸交于點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某親子公園擬建議廣告牌，將邊長(zhǎng)為米的正方形ABCD和邊長(zhǎng)為1米的正方形AEFG在A點(diǎn)處焊接，AM、AN、GM、DN均用加強(qiáng)鋼管支撐，其中支撐鋼管GM、DN垂直于地面于M點(diǎn)和N點(diǎn)，且GM、DN、MN長(zhǎng)度相等不計(jì)焊接點(diǎn)大小

若時(shí)，求焊接點(diǎn)A離地面距離；

若記，求加強(qiáng)鋼管AN最長(zhǎng)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如表：

質(zhì)量指標(biāo)值m

25≤m＜35

15≤m＜25或35≤m＜45

0＜m＜15或45≤m＜65

等級(jí)

一等品

二等品

三等品

某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，得到下圖的率分布直方圖．（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（1）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了質(zhì)量提升月”活動(dòng)，活動(dòng)后再抽樣檢測(cè)，產(chǎn)品三等品數(shù)Y近似滿足Y～H（10，15，100），請(qǐng)測(cè)算“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后這種產(chǎn)品的“二等品率“（一、二等品其占全部產(chǎn)品百分比）較活動(dòng)前提高多少個(gè)百分點(diǎn)？

（2）若企業(yè)每件一等品售價(jià)180元，每件二等品售價(jià)150元，每件三等品售價(jià)120元，以樣本中的頻率代替相應(yīng)概率，現(xiàn)有一名聯(lián)客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)，簡(jiǎn)稱“六藝”,某高中學(xué)校為弘揚(yáng)“六藝”的傳統(tǒng)文化，分別進(jìn)行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場(chǎng)傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進(jìn)入了前三名的最后角逐,規(guī)定：每場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽前三名的得分都分別為且；選手最后得分為各場(chǎng)得分之和，在六場(chǎng)比賽后，已知甲最后得分為分，乙和丙最后得分都是分，且乙在其中一場(chǎng)比賽中獲得第一名，下列說法正確的是( )

A. 乙有四場(chǎng)比賽獲得第三名

B. 每場(chǎng)比賽第一名得分為

C. 甲可能有一場(chǎng)比賽獲得第二名

D. 丙可能有一場(chǎng)比賽獲得第一名

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)．

（1）證明：直線平面；

（2），，，，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案