【題目】如圖,三棱柱中,,分別為,的中點(diǎn).
(1)證明:直線平面;
(2),,,,求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)設(shè)與交于點(diǎn),通過證明是平行四邊形證得,得線面平行;
(2)證明兩兩垂直,然后以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出兩平面的法向量,利用法向量夾角的余弦得二面角的余弦.
證明:(1)設(shè)與交于點(diǎn),連接,,
因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形,所以是的中點(diǎn),
是的中點(diǎn),所以,.
又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),所以,.
所以且,所以四邊形是平行四邊形,
所以.又因?yàn)?/span>平面,平面,
所以直線平面.
(2)因?yàn)?/span>,所以平行四邊形是菱形,所以.
又因?yàn)?/span>,所以.
又,且是的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?/span>,
所以,
所以,故,從而,,兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為,,軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),因?yàn)?/span>,,
所以是等邊三角形,所以,,,.
,.
因?yàn)?/span>,,兩兩垂直,所以平面,
所以是平面的一個(gè)法向量;
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則
,即,令,得,,
所以,所以.
所以平面和平面所成的角(銳角)的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對角線將折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.
(1)求證:;
(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線與直線分別與橢圓交于點(diǎn),且四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),是否存在經(jīng)過原點(diǎn),且以為直徑的圓?若有,請求出圓的方程,若沒有,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了提高利潤,從2012年至2018年每年對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資,投資金額與年利潤增長的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額(萬元) | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利潤增長(萬元) | 6.0 | 7.0 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
(1)請用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程(結(jié)果保留兩位小數(shù));
(2)現(xiàn)從2012—2018年這7年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查,記年利潤增長-投資金額,設(shè)這三年中(萬元)的年份數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列與期望.
參考公式:,.
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知函數(shù)f(x)=,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若在區(qū)間上,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長途車站P與地鐵站O的距離為千米,從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1,l2,經(jīng)測量,l1,l2的夾角為45°,OP與l1的夾角滿足tan=(其中0<θ<),現(xiàn)要經(jīng)過P修條直路分別與道路l1,l2交匯于A,B兩點(diǎn),并在A,B處設(shè)立公共自行車停放點(diǎn).
(1)已知修建道路PA,PB的單位造價(jià)分別為2m元/千米和m元/千米,若兩段道路的總造價(jià)相等,求此時(shí)點(diǎn)A,B之間的距離;
(2)考慮環(huán)境因素,需要對OA,OB段道路進(jìn)行翻修,OA,OB段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和n元/千米,要使兩段道路的翻修總價(jià)最少,試確定A,B點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:x2=2py經(jīng)過點(diǎn)(2,1).
(Ⅰ)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).
(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△MON的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與橢圓交于兩點(diǎn),是橢圓右頂點(diǎn),已知直線的斜率為,的外接圓半徑為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓上有兩點(diǎn),使的平分線垂直,且,求直線的方程.
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