Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意a，b∈R有f（a+b）=f（a）+f（b）+1．
（1）求f（0）的值；
（2）令F（x）=f（x）+1，判斷y=F（x）的奇偶性；
（3）若x＞0有f（x）＞-1，解不等式f（x）+f（x+5）＞-2．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知等式，采用賦值法，取a=b=0，可得f（0）的值；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，繼續(xù)采用賦值法，取a=x、b=-x，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可得F（x）是奇函數(shù)；
（3）任取x₁＜x₂，得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1，根據(jù)（2）中的結(jié)論得f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）-1，由條件判斷 f（x₂）-f（x₁）的符號，得f（x） 在R上是增函數(shù)，根據(jù)恒等式將原不等式轉(zhuǎn)化為f（2x+5）-1＞-2，再移項根據(jù)f（0）=-1化為：f（2x+5）＞f（0），再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義列出不等式求解．

解答： 解：（1）∵對任意a，b∈R有f（a+b）=f（a）+f（b）+1，
∴取a=b=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+1，
則f（0）=-1；
（2）取a=x、b=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+f（-x）=-2，
∵F（x）=f（x）+1，
∴F（x）+F（-x）=f（x）+1+f（-x）+1=0，
則F（-x）=-F（x），
故函數(shù)F（x）為奇函數(shù)；
（3）任取x₁＜x₂，則 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1，
由（2）知，F(xiàn)（x）=f（x）+1為奇函數(shù)，且f（x）+f（-x）=-2，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-2-f（x₁）+1=f（x₂）-f（x₁）-1，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
又x＞0有f（x）＞-1，∴f（x₂）-f（x₁）-1＞-1，
可得 f（x₂）＞f（x₁），所以f（x） 在R上是增函數(shù)，
∵f（x）+f（x+5）=f（x+x+5）-1=f（2x+5）-1，
∴f（x）+f（x+5）＞-2轉(zhuǎn)化為：f（2x+5）-1＞-2，
即 f（2x+5）＞-1=f（0）
∴2x+5＞0，解得x＞-

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2

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點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，利用賦值法解決抽象函數(shù)的問題，考查分析問題、解決問題的能力，是中檔題．