Question

已知函數f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-

π

6

）（A≠0）
（1）當0≤x≤

π

2

時，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若對任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數A的取值范圍；
（3）問a取何值時，不等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立？

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意知y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，設t=sinx，則0≤t≤1，y=2（t²-

3

2

t）+1，利用配方法能求出t=0時，y=f（sinx）取最大值1．
（2）由已知條件推導出-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1．依據題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，由已知條件能求出實數A的取值范圍．
（3）f（sinx）＜a-sinx化為2sin²x-2sinx+1＜a在[0，2π]上恒成立，由此利用換元法能求出a＞5．

解答： 解：（1）由題意知y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
設t=sinx，x∈[0，

π

2

]，則0≤t≤1，
∴y=2（t²-

3

2

t）+1=2（t-

3

4

）²-

1

8

，
當t=0時，y=f（sinx）取最大值1．
（2）當x₁∈[0，3]時，f（x₁）值域為[-

1

8

，10]，
當x₂∈[0，3]時，則-

π

6

≤x2-

π

6

≤3-

π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1．
①當A＞0時，g（x₂）值域為[-

1

2

A，A]，
②當A＜0時，g（x₂）值域為[A，-

1

2

A]，
而依據題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，
則

A＞0 10＜A - 1 8 ≥- 1 2 A

或

A＜0 10≤- 1 2 A - 1 8 ≥A

，
∴A≥10或A≤-20．
（3）等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立，
等價于2sin²x-2sinx+1＜a在[0，2π]上恒成立，
令t=sinx，則t∈[-1，1]，
∴y=2t2-2t+1=2(t-

1

2

)2+

1

2

∈[

1

2

，5]．
∴a＞5．

點評：本題考查函數的最大值的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意三角函數性質的合理運用．是中檔題．