Question

11．（1）求函數(shù)f（x）=sin²x+cosx+1，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域．
（2）求函數(shù)$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定義域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）為cosx的二次函數(shù)，用換元法令t=cosx，從而求出f（x）的值域；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的定義域和單調(diào)性，即可求出函數(shù)$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定義域和單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=1-cos²x+cosx+1
=-cos²x+cosx+2，
令t=cosx，則t∈[0，1]，
則 y=-t²+t+2，t∈[0，1]；
所以當(dāng)t=0或1時(shí)，y_min=2；
當(dāng)$t=\frac{1}{2}$時(shí)，${y_{max}}=\frac{9}{4}$；
所以f（x）的值域是$[2，\frac{9}{4}]$；
（2）∵函數(shù)$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
令$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≠\frac{π}{2}+kπ$，
解得$x≠\frac{π}{3}+2kπ，k∈z$；
所以$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定義域?yàn)?\left\{{\left.x\right|x≠\frac{π}{3}+2kπ，k∈z}\right\}$；
令$t=\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$，
由y=tant在$（{-\frac{π}{2}+kπ，\frac{π}{2}+kπ}）$，k∈Z內(nèi)單調(diào)遞增，
令-$\frac{π}{2}$+kπ＜$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{3}$+2kπ＜x＜$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
所以$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$在（-$\frac{5π}{3}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ），k∈Z上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了求復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．