已知數(shù)列
滿足:
其中
,數(shù)列
滿足:
(1)求
;
(2)求數(shù)列
的通項公式;
(3)是否存在正數(shù)k,使得數(shù)列
的每一項均為整數(shù),如果不存在,說明理由,如果存在,求出所有的k.
試題分析:(1)先由遞推公式
求出
再用遞推公式求出
;
(2)由
兩式相減可得
即:
,于是結(jié)合(1)的結(jié)論可得
.
(3)對于這類問題通常的做法是假設(shè)
的值存在,由(1)的結(jié)果知,
或
,接下來可用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立即可.
試題解析:(1)經(jīng)過計算可知:
.
求得
. (4分)
(2)由條件可知:
. ①
類似地有:
. ②
①-②有:
.
即:
.
因此:
即:
故
所以:
. (8分)
(3)假設(shè)存在正數(shù)
,使得數(shù)列
的每一項均為整數(shù).
則由(2)可知:
③
由
,及
可知
.
當
時,
為整數(shù),利用
,結(jié)合③式,反復(fù)遞推,可知
,
,
,
, 均為整數(shù).
當
時,③變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240449283011554.png" style="vertical-align:middle;" /> ④
我們用數(shù)學(xué)歸納法證明
為偶數(shù),
為整數(shù)
時,結(jié)論顯然成立,假設(shè)
時結(jié)論成立,這時
為偶數(shù),
為整數(shù),故
為偶數(shù),
為整數(shù),所以
時,命題成立.
故數(shù)列
是整數(shù)列.
綜上所述,
的取值集合是
. (14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在數(shù)列
中,若
(
,
,
為常數(shù)),則稱
為
數(shù)列.
(1)若數(shù)列
是
數(shù)列,
,
,寫出所有滿足條件的數(shù)列
的前
項;
(2)證明:一個等比數(shù)列為
數(shù)列的充要條件是公比為
或
;
(3)若
數(shù)列
滿足
,
,
,設(shè)數(shù)列
的前
項和為
.是否存在
正整數(shù)
,使不等式
對一切
都成立?若存在,求出
的值;
若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知公比不為
的等比數(shù)列
的首項
,前
項和為
,且
成等差數(shù)列.
(1)求等比數(shù)列
的通項公式;
(2)對
,在
與
之間插入
個數(shù),使這
個數(shù)成等差數(shù)列,記插入的這
個數(shù)的和為
,求數(shù)列
的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列
為等比數(shù)列,其前n項和為
,且滿足
,
成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列
的通項公式;
(2)已知
,記
,求數(shù)列
前n項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若f(x)=
,則f(1)+f(2)+f(3)…+f(2011)+f(
)+f(
)+…+f(
)=( )
A.2009 | B.2010 | C.2012 | D.1 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知數(shù)列{
}中,
=
,
+
(n
,則數(shù)列{
}的通項公式為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
數(shù)列
的一個通項公式為
( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在數(shù)列
中,S
n=2n
2-3n(n∈N
*),則a
4等于 ( )
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