Question

7．判斷以$A（{4，1+\sqrt{2}}），B（{1，5+\sqrt{2}}），C（{-3，2+\sqrt{2}}）D（{0，-2+\sqrt{2}}）$為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，即可得到四邊形ABCD是平行四邊形，再求出$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|，平行四邊形ABCD是正方形．

解答 解：∵$A（{4，1+\sqrt{2}}），B（{1，5+\sqrt{2}}），C（{-3，2+\sqrt{2}}）D（{0，-2+\sqrt{2}}）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，4），$\overrightarrow{DC}$=（-3，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
∵$\overrightarrow{AC}$=（-7，1），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-7），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=7-7=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|，
∴平行四邊形ABCD是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示，也考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．