Question

12．下面有四個命題：
①三個平面兩兩互相垂直，則它們的交線也兩兩互相垂直；
②三條共點的直線兩兩互相垂直，分別由每兩條直線所確定的平面也兩兩互相垂直；
③分別與兩條互相垂直相交的直線垂直的兩個平面互相垂直；
④分別經(jīng)過兩條互相垂直的直線的兩個平面互相垂直．
其中正確的命題序號是①②③．

Answer 1

分析 利用線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷，或反舉例得出結(jié)論．

解答 解：①設(shè)三個互相垂直的平面分別為α、β、γ，且α∩β=a，β∩γ=bγ∩α=c，三個平面的公共點為O，如圖所示：
在平面γ內(nèi)，除點O外，任意取一點M，過點M作MN⊥c，MP⊥b，M、P為垂足，
則有平面和平面垂直的性質(zhì)可得MN⊥α，MP⊥β，
∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．                           
∵b?γ，c?γ，
∴a⊥b，a⊥c．
同理可證，c⊥b，c⊥a，故而①正確
②若a⊥b，a⊥c．則a⊥平面γ，
∵a?α，∴α⊥γ，
同理β⊥γ，α⊥β．故②正確．
③若a⊥b，a⊥γ，b⊥α，則a，b的方向向量分別為γ，α的法向量，由a，b的夾角為90°
∴平面γ，平面α所成的二面角為90°，即γ⊥α．故③正確．
④假設(shè)α∩β=a，b⊥a，b?β，則當(dāng)平面β繞交線a旋轉(zhuǎn)式，恒有a⊥b，顯然α不總是垂直β，故④錯誤．
故答案為①②③．

點評 本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．