Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a＞1）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為-1，求該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值是2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=-1，求出a的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，單調(diào)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而求出a的值即可．

解答 解：（1）由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
得：f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，則f′（1）=1-a，
由切線斜率為-1，得1-a=-1，
解得：a=2，則f（1）=2，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程是y-2=-（x-1），
即x+y-3=0，
故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；
（2）由（1）知，f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x∈[1，e]，
①1＜a＜e時，在區(qū)間[1，a]上有f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（a，e]上有f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值是f（a）=lna+1，
由lna+1=2得：a=e與1＜a＜e矛盾，
②a=e時，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上遞減，
∴f（x）的最小值是f（e）=2，符合題意；
③a＞e時，顯然f（x）在區(qū)間[1，e]上遞減，
最小值是f（e）=1+$\frac{a}{e}$＞2，與最小值是2矛盾；
綜上，a=e．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．