Question

2．某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間t的變化規(guī)律是N=N₀e^-λt，其中N₀，λ是正的常數(shù)．
（1）說明函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)；
（2）把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)；
（3）當(dāng)N=$\frac{{N}_{0}}{2}$時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)N=N₀e^-λt =$\frac{{N}_{0}}{{e}^{λt}}$，可得函數(shù)N是減函數(shù)．
（2）利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，可以把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)．
（3）當(dāng)N=$\frac{{N}_{0}}{2}$時，有 e^-λt =$\frac{1}{2}$，即-λt=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，從而求得t的值．

解答 解：（1）∵N=N₀e^-λt，其中N₀，λ是正的常數(shù)，
∴N=N₀e^-λt =$\frac{{N}_{0}}{{e}^{λt}}$，當(dāng)t增大時，N減小，
故函數(shù)N是減函數(shù)．
（2）∵N=N₀e^-λt，∴$\frac{N}{{N}_{0}}$=e^-λt，∴-λt=ln$\frac{N}{{N}_{0}}$，∴t=$\frac{ln\frac{N}{{N}_{0}}}{-λ}$．
（3）當(dāng)N=$\frac{{N}_{0}}{2}$時，有e^-λt =$\frac{1}{2}$，∴-λt=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，t=$\frac{1}{-λ}$•（-ln2）=$\frac{ln2}{λ}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，指數(shù)式與對數(shù)式的互化，求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．