Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分別是所在棱的三等分點，且BF=DE=C1G=C1H=

1

3

AB．
（1）證明：直線EH與FG共面；
（2）若正方體的棱長為3，求幾何體GHC₁-EFC的體積．

Answer 1

分析：（1）先證EF∥GH，從而證明EF，GH共面，即EH，F(xiàn)G共面；
（2）先證明EH、FG、CC₁交于一點，即證明幾何體GHC₁-EFC為棱臺，再代入棱臺的體積公式計算．

解答：解：（1）證明：連接BD、B₁D₁，∵C₁H=C₁G，∴

C1H

HD1

=

C1G

GB1

，∴HG∥D₁B₁
同理，由BF=DE，可得EF∥DB，又D₁B₁∥BD，∴HG∥EF．
∴HG、EF在平面EFHG中，由EH?平面EFHG，F(xiàn)G?平面EFHG，
∴直線EH與FG共面．
（2）由（1）知EH與FG共面不平行，設EH∩FG=0，
∵平面BCB₁C₁∩平面DCC₁D₁=CC₁，∴O∈CC₁，即EH、FG、CC₁交于一點，
∴幾何體GHC₁-EFC為三棱臺．
C₁G=C₁H=1，CE=CF=2，CC₁=3，S₁=

1

2

，S₂=2，
∴V=

1

3

×（

1

2

+

1 2 ×2

+2）×3=

7

2

．

點評：本題主要考查了棱臺的性質及棱臺的體積計算，考查了線共面及線共點問題，要注意棱臺是由棱錐用平行于底面的平面截得的，這一性質．