如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)．證明：向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量．
分析：欲證向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量，即證明B1C和EF都與平面A1BD平行．連結(jié)A1D、BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG，由三角形中位線定理和正方形的性質(zhì)證出四邊形BEFG為平行四邊形，從而EF∥BG，利用線面平行判定定理證出EF∥平面A1BD，同理證出B1C∥平面A1BD，由此即可得到向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量．
解答：解：連結(jié)A1D、BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG，
則有FG
∥
.
1
2
DD1，BE
∥
.
1
2
DD1，
∴FG
∥
.
BE，可得四邊形BEFG為平行四邊形．
∴EF∥BG．
∵EF?平面A1BD，BG?平面A1BD，∴EF∥平面A1BD．
同理可得B1C∥平面A1BD，而向量
A1B
是平面A1BD內(nèi)的向量
∴向量
A1B
、
B1C
、
EF
都與平面A1BD平行．
由此可得：將向量
A1B
、
B1C
、
EF
作適當(dāng)?shù)钠揭坪螅梢怨裁嬗谄矫鍭1BD
即
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量．
點(diǎn)評：本題給出正方體ABCD-A1B1C1D1棱的中點(diǎn)E、F、G，求證向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量．著重考查了正方體的性質(zhì)、線面平行判定定理和向量共面的證明等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積．
（1） 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=
 
．
（2）如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=
 
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為8，E、F分別為AD1，CD1中點(diǎn)，G、H分別為棱DA，DC上動(dòng)點(diǎn)，且EH⊥FG．
（1）求GH長的取值范圍；
（2）當(dāng)GH取得最小值時(shí)，求證：EH與FG共面；并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E、F、G分別為棱BC、C1C、B1C1的中點(diǎn)，O1、O2分別為四邊形ADD1A1、A1B1C1D1的中心，則下列各組中的四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn)，且BF=DE=C1G=C1H=
13
AB．
（1）證明：直線EH與FG共面；
（2）若正方體的棱長為3，求幾何體GHC1-EFC的體積．

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