Question

1．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）直線CD的方程為y=k（x+1），由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，由此利用韋達(dá)定理、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能求出直線的斜率．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{2^{2}}{a}=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由F（-1，0），得直線CD的方程為y=k（x+1），
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}，0$），$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=8，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}$=（${x}_{1}+\sqrt{3}，{y}_{1}$）•（$\sqrt{3}-{x}_{1}，{y}_{1}$）+（${x}_{2}+\sqrt{3}，{y}_{2}$）•（$\sqrt{3}-{x}_{1}，-{y}_{1}$）
=6-2x₁x₂-2y₁y₂
=$6-2{x}_{1}{x}_{2}-2{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）$
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²
=6+$\frac{2{k}^{2}+12}{2+3{k}^{2}}$=8，
解得k=$±\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量知識(shí)的合理運(yùn)用．