Question

10．已知函數(shù)f（x）=3mx-$\frac{1}{x}$-（3+m）lnx，若對任意的m∈（4，5），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{37}{6}$，+∞）．

Answer 1

分析 先由參數(shù)范圍得到函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)在[1，3]上的最值，若對任意的m∈（4，5），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立轉(zhuǎn)化為（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，進(jìn)行求解即可得到參數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3m+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{3+m}{x}$=$\frac{3{m}^{2}-（3+m）x+1}{{x}^{2}}$
=$\frac{（3x-1）（mx-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{3m（x-\frac{1}{3}）（x-\frac{1}{m}）}{{x}^{2}}$，
∵m∈（4，5），
∴$\frac{1}{m}$∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$），
由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{3}$或x＜$\frac{1}{m}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{3}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為f（3）_max=9m-$\frac{1}{3}$-（3+m）ln3，
函數(shù)的最小值為f（1）_min=3m-1，
則|f（x₁）-f（x₂）|_max=9m-$\frac{1}{3}$-（3+m）ln3-（3m-1）=6m+$\frac{2}{3}$-（3+m）ln3，
則（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
等價(jià)為（a-ln3）m-3ln3＞6m+$\frac{2}{3}$-（3+m）ln3，
即am＞6m+$\frac{2}{3}$，即a＞6+$\frac{2}{3m}$，
∵m∈（4，5），
∴$\frac{1}{m}$∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\frac{2}{3m}$∈（$\frac{2}{15}$，$\frac{1}{6}$），
則6+$\frac{2}{3m}$∈（$\frac{82}{15}$，$\frac{37}{6}$），
則a≥$\frac{37}{6}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{37}{6}$，+∞），
故答案為：[$\frac{37}{6}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題，與不等式恒成立有關(guān)的參數(shù)范圍問題，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．