Question

10．已知公比為q的等比數(shù)列{a_n}的前6項和為S₆=21，且4a₁、$\frac{3}{2}$a₂、a₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，其前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由4a₁、$\frac{3}{2}$a₂、a₂成等差數(shù)列，可得3a₂=4a₁+a₂，運用等比數(shù)列的通項公式，從中解出q，再由S₆=21，求出a₁，寫出其通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=3n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）∵4a₁、$\frac{3}{2}$a₂、a₂成等差數(shù)列，
∴3a₂=4a₁+a₂，
即有a₂=2a₁，
∴q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
當(dāng)q=2時，S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{6}）}{1-2}$=21，
∴a₁=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$\frac{1}{3}$•2^n-1．
（2）b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=3n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則T_n=3[1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1]，①
$\frac{1}{2}$T_n=3[1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ]，②
①-②可得，$\frac{1}{2}$T_n=3[1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ]
=3[（$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
化簡可得，T_n=12-$\frac{3n+6}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查等差數(shù)列中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．