Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$．
（Ⅰ）分別求$f（2）+f（\frac{1}{2}）$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）$，的值；
（Ⅱ）歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，能分別求出$f（2）+f（\frac{1}{2}）$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）$，的值．
（Ⅱ）猜想：$f（n）+f（\frac{1}{n}）=1$，利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$．
∴$f（2）+f（\frac{1}{2}）=1$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）=1$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）=1$．…（3分）
（Ⅱ）猜想：$f（n）+f（\frac{1}{n}）=1$，…（6分）
證明：∵$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，∴$f（\frac{1}{x}）=\frac{{{{（\frac{1}{x}）}^2}}}{{1+{{（\frac{1}{x}）}^2}}}=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
∴$f（x）+f（\frac{1}{x}）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}+\frac{1}{{1+{x^2}}}=1$．
∴$f（n）+f（\frac{1}{n}）=1$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法及證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．