Question

已知點(diǎn)P是雙曲線C：左支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，PF₂與兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)（如圖），點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，則雙曲線的離心率是

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：在三角形F₁F₂P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，點(diǎn)O恰好平分線段F₁F₂，根據(jù)三角形的中位線定理得出ON∥PF₁，從而得到∠PF₁F₂正切值，可設(shè)PF₂=bt．PF₁=at，再根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立等式求得a和b的關(guān)系，則離心率可得．
解答：在三角形F₁F₂P中，點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，點(diǎn)O恰好平分線段F₁F₂，
∴ON∥PF₁，又ON的斜率為，
∴tan∠PF₁F₂=，
在三角形F₁F₂P中，設(shè)PF₂=bt．PF₁=at，
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，②
由①②消去t，得，
又c²=a²+b²，
∴a²=（b-a）²，即b=2a，
∴雙曲線的離心率是=，
故選A．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了學(xué)生對雙曲線定義和基本知識的掌握，屬于基礎(chǔ)題．