Question

8．已知函數(shù)f（x）=2sin2x-2cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）取得最大值時(shí)x的集合；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），由此能求出f（x）的最小正周期．
（2）當(dāng)f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$時(shí)，2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，由此能求出x的集合．
（3）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，由此能求了函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin2x-2cos2x=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）當(dāng)f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$時(shí)，
2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得x=$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z，
∴f（x）取得最大值時(shí)x的集合為{x=$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z}．
（3）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{8}+kπ$，$\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最小正周期的求法，考查函數(shù)值取最大值時(shí)x的集合的求法，考查函數(shù)的增區(qū)間，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．