3．長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB=90°，則側(cè)棱AA1的長的最小值（　�。�
A．2B．4C．6D．8

分析 設(shè)側(cè)棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x-t，由已知得t2-xt+4=0，由此利用根的判別式能求出側(cè)棱AA1的長的最小值．

解答 解：設(shè)側(cè)棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x-t，
∵長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，
∠C1EB=90°，
∴$C{E}^{2}+B{E}^{2}=B{{C}_{1}}^{2}$，
∴8+t2+4+（x-t）2=4+x2，
整理，得：t2-xt+4=0，
∵在側(cè)棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB=90°，
∴△=（-x）2-16≥0，
解得x≥4．或x≤-4（舍）．
∴側(cè)棱AA1的長的最小值為4．
故選：B．

點評 本題考查長方體的側(cè)棱長的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意根的判別式的合理運用．

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