Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=CC₁=1，BC=

2

，P、E分別是BC₁和BC上的兩個動點，則A₁P+PE的最小值為

 

．

Answer 1

考點：多面體和旋轉體表面上的最短距離問題

專題：解三角形

分析：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內，利用點到直線之間垂線段最短，即可求出滿足條件的P的位置，然后解三角形即可求解．

解答： 解：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內，如圖所示，
連A₁C，則A₁E與BC垂直時的長度就是所求的最小值．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=CC₁=1，BC=

2

，
∴BC₁=

3

，A₁C₁=1，A₁B=2，BC=

2

，CC₁=1，
即∠A₁C₁B=90°，∠A₁BC₁=30°，
又∵sin∠CBC₁=

3

3

，cos∠CBC₁=

6

3

，
故sin∠CBA₁=

3+ 6

6

，
故A₁E=

3+ 6

6

×2=

3+ 6

3

，
故答案為：

3+ 6

3

．

點評：本題主要考查空間線段長度的最值計算，利用平面展開法將空間問題轉化為平面點到直線之間垂線段最短是解決本題的關鍵，解三角形即可求解長度問題，綜合性較強．