Question

10．設把滿足條件“對任意的s，t∈（一1，1）且s≠t．都有|f（s）-f（t）|≤3|s-t|”的函數(shù)f（x）組成的集合記作集合G．
（1）分別判斷函數(shù)f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，f₂（x）=log₂（1+x）是否屬于集合G：
（2）若f₃（x）=ax²+bx且f₃（x）∈G．求證：當x∈（-2，2）時，|f₃（x）|≤6．

Answer 1

分析 （1）由新定義判斷函數(shù)f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，f₂（x）=log₂（1+x），是否滿足對任意x₁，x₂∈（-1，1）時，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|．運用分子有理化和絕對值不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（2）由題意可得|f₁（x₁）-f₁（x₂）|≤3|x₁-x₂|，即有|x₁-x₂|•|a（x₁+x₂）+b|≤3|x₁-x₂|，即為|a（x₁+x₂）+b|≤3，再由絕對值不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）對于f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，對任意x₁，x₂∈（-1，1），
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|=|$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$|=|$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|=|$\frac{{{（x}_{1}}^{\;}-{{x}_{2}}^{\;}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|，$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$＞|x₁|+|x₂|≥|x₁+x₂|
$\left|\frac{{{（x}_{1}}^{\;}-{{x}_{2}}^{\;}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}\right|$＜|x₁-x₂|＜3|x₁-x₂|
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＜3|x₁-x₂|
函數(shù)f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，屬于集合G：
對于f（x）=log₂（1+x）對任意x₁，x₂∈（-1，1），
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|=|log₂（1+x₁）-log₂（1+x₂）|=|log₂$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$|，
∵1+x₁∈（0，2），1+x₂∈（0，2），
$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}∈[0，+∞）$，|log₂$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$|∈R，不滿足：|log₂（1+x₁）-log₂（1+x₂）|≤3|x₁-x₂|
故f₂（x）=log₂（1+x）不屬于集合G．
（2）證明：f₃（x）=ax²+bx且f₃（x）∈G．
可得|f₁（x₁）-f₁（x₂）|≤3|x₁-x₂|，
即為|ax₁²+bx₁-ax₂²-bx₂|≤3|x₁-x₂|，
即有|x₁-x₂|•|a（x₁+x₂）+b|≤3|x₁-x₂|，
即為|a（x₁+x₂）+b|≤3，（x₁，x₂∈（-1，1））
當x∈（-2，2）時，|f₃（x）|=|ax²+bx|=|x|•|ax+b|≤2×3=6，
則有當x∈（-2，2）時，|f₃（x）|≤6．

點評 此題屬于新概念的問題，題中考查了絕對值不等式的應用．對于此類型的題目需要對題目概念做認真分析再做題．屬于中檔題．