Question

20．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）．弧田，由圓弧和其所對弦所圍成．公式中“弦”指圓弧對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與實(shí)際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角為$\frac{2}{3}$π，弦長等于9米的弧田．按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與實(shí)際面積的差為$\frac{27\sqrt{3}}{2}$+$\frac{27}{8}$-9π．

Answer 1

分析 利用扇形的面積公式，計(jì)算扇形的面積，從而可得弧田的實(shí)際面積；按照上述弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²），從而可求誤差．

解答 解：扇形半徑r=3$\sqrt{3}$
扇形面積等于$\frac{1}{2}•\frac{2π}{3}•（3\sqrt{3}）^{2}$=9π（m²）
弧田面積=9π-$\frac{1}{2}$r²sin$\frac{2π}{3}$=9π-$\frac{27\sqrt{3}}{4}$（m²）
圓心到弦的距離等于$\frac{1}{2}r$，所以矢長為$\frac{1}{2}r$．
按照上述弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）=$\frac{1}{2}$（9×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{27}{4}$）=$\frac{27}{4}$（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$）．
∴9π-$\frac{27\sqrt{3}}{4}$-$\frac{27}{4}$（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$）=9π-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-$\frac{27}{8}$
按照弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果比實(shí)際少9π-$\frac{27\sqrt{3}}{2}$-$\frac{27}{8}$平方米．
故答案為：$\frac{27\sqrt{3}}{2}$+$\frac{27}{8}$-9π．

點(diǎn)評 本題考查扇形的面積公式，考查學(xué)生對題意的理解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．