直線l過橢圓
x2
2
+y2=1的左焦點(diǎn)F，且與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，則直線l的方程為
y=±
2
2
(x+1)
y=±
2
2
(x+1)
．
分析：由橢圓的方程求出橢圓的左焦點(diǎn)，由題意可知直線l的斜率存在且不等于0，寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到PQ中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再由△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形得到M的橫坐標(biāo)，兩數(shù)相等求出k的值，則直線l的方程可求．
解答：解：由
x2
2
+y2=1，得a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=2-1=1．
則c=1，則左焦點(diǎn)F（-1，0）．
由題意可知，直線l的斜率存在且不等于0，
則直線l的方程為y=kx+k．
設(shè)l與橢圓相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），
聯(lián)立
x2
2
+y2=1
y=kx+k
，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k-2=0．
所以x1+x2=-
4k2
2k2+1
．
則PQ的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
x1+x2
2
=-
2k2
2k2+1
．
因?yàn)椤鱂MO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，
所以-
2k2
2k2+1
=-
1
2
．解得：k=±
2
2
．
所以直線l的方程為y=±
2
2
(x+1)．
故答案為y=±
2
2
(x+1)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了設(shè)而不求的方法，解答此題的關(guān)鍵是由△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形得到M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，此題是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M（-2，0）的直線l與橢圓
x22
+y2=1交于p1、P2兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段p1P2的中點(diǎn)．設(shè)直線l的斜率為k1（k1≠0），直線OP的斜率為k2，則k1k2=
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1及直線l：y=x+m．
（1）當(dāng)直線l與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線l過橢圓右焦點(diǎn)，并與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB之長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列五個(gè)命題：
①已知直線a，b和平面α，若a∥b，b∥α，則a∥α；
②平面上到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是一條拋物線；
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），則直線y=
b
a
x+m（m∈R）與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直；
⑤過M（2，0）的直線l與橢圓
x2
2
+y2=1交于P1P2兩點(diǎn)，線段P1P2中點(diǎn)為P，設(shè)直線l斜率為k1（k≠0），直線OP的斜率為k2，則k1k2等于-
1
2
．
其中，正確命題的序號(hào)為
④⑤
④⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直線l過橢圓
x2
2
+y2=1的左焦點(diǎn)F，且與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，則直線l的方程為______．

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