Question

3．如果一元二次方程ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一個負的實數(shù)根，試確定這個結論成立的充要條件．

Answer 1

分析 由題意可知a≠0，然后分方程有一個負實根和兩個負實根分類求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得：a≠0，一元二次方程ax²+2x+1=0有實數(shù)根的充要條件是△=4-4a≥0，即a≤1，
設方程ax²+2x+1=0（a≠0）的根是x₁，x₂，
由${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{a}，{x_1}{x_2}=\frac{1}{a}$，
可知，方程ax²+2x+1=0（a≠0）有一個負的實數(shù)根$?\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ \frac{1}{a}＜0\end{array}\right.$，即a＜0；
方程ax²+2x+1=0（a≠0）有兩個負的實數(shù)根$?\left\{\begin{array}{l}a≤1\\-\frac{2}{a}＜0\\ \frac{1}{a}＞0\end{array}\right.$，即0＜a≤1．
綜上所述，一元二次方程ax²+2x+1=0至少有一個負實數(shù)根的充要條件是a＜0或0＜a≤1．

點評 本題考查充分條件、必要條件及充要條件的判定方法，考查了一元二次方程根的分布問題，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．