(1)求A1C1與B1C所成角的大小;
(2)求A1C與AD1所成角的大;
(3)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn),求A1C1與EF以及AD1與EF所成角的大小.
解析:(1)如下圖甲中,連結(jié)AC、AB1.由A1C是正方體,知AA1CC1,故A1ACC1是平行四邊形,所以AC∥A1C1.從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.
由AB1=AC=B1C,知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成的角為60°
(2)如圖乙中,延長BC到E,使CE=BC,連結(jié)D1E、AE,由BCA1D1,知CE
A1D1,故四邊形A1CED1是平行四邊形,所以D1E∥A1C.從而D1E與AD1所成的角就是A1C與AD1所成的角.
設(shè)正方體的棱長為a,則
AD1=,A1C=
,
.
由余弦定理,知
cos∠AD1E=.
所以A1C與AD1所成的角為90°.
(3)如圖丙中,連結(jié)AC、BD,由A1ACC1,知A1ACC1是平行四邊形,故AC∥A1C1,所以AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.由EF是△ABD的中位線,知EF∥BD,知EF⊥AC,即所求角為90°.在圖丁中,連結(jié)BD、D1B1.由DD1
BB1,知B1BDD1是平行四邊形,故D1B1∥DB,又由EF是△ABD的中位線,知EF∥BD,故EF∥B1D1,所以AD1與B1D1所成的角就是AD1與EF所成的角.連結(jié)AB1,由AB1=AD1=D1B1,知AD1與D1B所成角為60°,即有AD1與EF所成角為60°.
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A1A |
A1D1 |
A1B1 |
A1B1 |
A1C |
A1B1 |
A1A |
AD1 |
A1B |
AB |
AA1 |
AD |
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