Question

已知曲線f（x）=ax³+b經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=3x-1，
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求曲線過點(diǎn)（-1，0）的切線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，則有f′（1）=3a，再由條件得3a=3，又f（0）=1，即可得到解析式；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則由斜率公式得到3m²=

n

m+1

，f（m）=n，即m³+1=n．解出m，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到．

解答： （1）解：因?yàn)閒′（x）=3ax²
所以f′（1）=3a，又因?yàn)楹瘮?shù)在f（x）處的切線方程是y=3x-1
所以3a=3⇒a=1，
又因?yàn)閒（x）=ax³+b的圖象過（0，1）
所以b=1，
所以f（x）=x³+1；
（2）解：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
f′（x）=3x²，則3m²=

n

m+1

，
f（m）=n，即m³+1=n．
解得m=-1或

1

2

，
故切線的斜率為3或

3

4

．
所以由點(diǎn)斜式可得切線方程為y=3x+3或y=

3

4

x+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；注意“在點(diǎn)處的切線”與“過點(diǎn)的切線”的區(qū)別．屬于基礎(chǔ)題．