Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx．
（I）求 x∈[

2

3

π，

5

4

π]時函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（II）若α為第二象限角，且f（α-

π

3

）=

1

3

，求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,三角函數(shù)的化簡求值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）利用倍角公式與兩角和差的運(yùn)算公式可得f（x）=2cos(x+

π

3

)+1，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（II）由f（α-

π

3

）=

1

3

，可得cosα=-

1

3

，由于α為第二象限角，可得sinα=

2 2

3

．再利用倍角公式即可得出．

解答： 解：（I）f（x）=1+cosx-

3

sinx=2cos(x+

π

3

)+1，∵x∈[

2

3

π，

5

4

π]，∴(x+

π

3

)∈[π，

19π

12

]，
∴x∈[

2

3

π，

5

4

π]為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
其值域?yàn)?span id="mx2wfms" class="MathJye">[-1，

6 - 2 -2

2

]．
（II）∵f（α-

π

3

）=

1

3

，∴1+2cosα=

1

3

，解得cosα=-

1

3

，
∵α為第二象限角，∴sinα=

2 2

3

．
∴

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

=

cosα+sinα

2cosα

=

1

2

+

2 2 3

2×(- 1 3 )

=

1-2 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了倍角公式、兩角和差的運(yùn)算公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．