Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x，其中a≤

1

3

．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入到f（x）中化簡(jiǎn)得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；
（II）借助于導(dǎo)數(shù)，將三次函數(shù)“f（x）=ax³-x”的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行研究．此題只須求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-x，f（2）=6，f'（2）=11
所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-6=11（x-2），
即11x-y-16=0；   （6分）
（Ⅱ）f'（x）=3ax²-1．
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）=3ax²-1＜0，y=f（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；
當(dāng)0＜a≤

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3

時(shí)，令f'（x）=0，解得x1=-

1

3a

，x2=

1

3a

．
因?yàn)?span id="ljtbjj3" class="MathJye">0＜a≤

1

3

，所以x2=

1

3a

＞1且x1=-

1

3a

＜-1，
又當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，
故y=f（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；
綜上，函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為-a+1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的引入，為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來了方便．