Question

已知tan(α+β)=

1

2

，tan(α-

π

4

)=-

1

3

，則以下結(jié)論中，正確的有

①②

（填入所有正確結(jié)論的編號(hào)）．
①tan(β+

π

4

)=1；    ②β=kπ（k∈Z）；    ③α=arctan

1

2

．

Answer 1

分析：直接根據(jù)兩角差的正切公式即可判斷出①成立，再根據(jù)①成立可得結(jié)論②成立，最后把②代入tan(α+β)=

1

2

，根據(jù)終邊相同的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值相等可以判斷出③不成立．

解答：解：∵tan（β+

π

4

）=tan[（α+β）-（α-

π

4

）]
=

tan(α+β)-tan(α+ π 4 )

1+tan(α+β)tan(α+ π 4 )

=

1 2 - (- 1 3 )

1+ 1 2 ×(- 1 3 )

=1．即①成立；
∴由tan(β+

π

4

)=1得：β+

π

4

=kπ+

π

4

⇒β=kπ，k∈Z．即②成立；
∴tan（α+β）=tan（α+kπ）=tanα=

1

2

⇒α=kπ+arctan

1

2

．即③不成立．
所以，只有①②為正確結(jié)論．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角差的正切公式的應(yīng)用以及終邊相同的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值相等這一結(jié)論的應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵在于由已知條件得到①成立．