Question

已知tanα，tanβ為方程x²-3x-3=0兩根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求sin²（α+β）-3sin（2α+2β）-3cos²（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由韋達定理知

tanα+tanβ=3 tanαtanβ=-3

，可求 tan（α+β）的值．
（2）利用同角三角函數的基本關系，把要求的式子用6tan（α+β）來表示，把（1）的結果代入運算．

解答：解：（1）由事達定理知

tanα+tanβ=3 tanαtanβ=-3

，又tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，∴tan(α+β)=

3

1+3

=

3

4

．
（2）原式=cos2(α+β)[tan2(α+β)-tan(α+β)-3]=

1

1+tan2(α+β)

[tan2(α+β)-6tan（α+β）-3]
=

1

1+( 3 4 )2[( 3 4 )2-6× 3 4 -3]

=-

111

25

．

點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系，兩角和的正切公式，同角三角函數的基本關系的應用，式子的變形是解題的難點．