Question

8．己知函數(shù)f（x）=-2a•4^x+2^x-1．
（1）a=1時(shí)，求f（x）在[-3，0]的值域；
（2）方程f（x）=0有負(fù)根，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-2•4^x+2^x-1=-2（2^x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{7}{8}$，從而求值域；
（2）由-2a•4^x+2^x-1=0知a=-$\frac{1}{2}$（2^-x）²+$\frac{1}{2}$•2^-x=-$\frac{1}{2}$（2^-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，從而確定a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，
f（x）=-2•4^x+2^x-1=-2（2^x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{7}{8}$，
∵x∈[-3，0]，∴2^x∈[$\frac{1}{8}$，1]，
∴-2≤f（x）≤-$\frac{7}{8}$；
故f（x）在[-3，0]的值域?yàn)閇-2，-$\frac{7}{8}$]；
（2）∵-2a•4^x+2^x-1=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$（2^-x）²+$\frac{1}{2}$•2^-x=-$\frac{1}{2}$（2^-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
∵2^-x＞1，∴-$\frac{1}{2}$（2^-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$＜0；
故a的范圍為（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域的求法及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用．