Question

9．某校A，B，C，D四門課外選修課的學(xué)生人數(shù)如下表，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中選取15人參加學(xué)校的座談會．

選修課	學(xué)生人數(shù)
A	20
B	30
C	40
D	60

（1）應(yīng)分別從A，B，C，D四門課中各抽取多少名學(xué)生；
（2）從抽取的15名學(xué)生中再隨機抽取2人，求這2人的選修課恰好不同的概率；
（3）若從C，D兩門課中抽取的學(xué)生中再隨機抽取3人，用X表示其中選修C的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用抽樣比直接求解A，B，C，D四門課抽取學(xué)生數(shù)；
（2）利用逆向思維求解從抽取的15名學(xué)生中再隨機抽取2人，這2人的選修課恰好不同的概率；
（3）判斷X=0，1，2，3．求出概率，然后求解分布列以及期望即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）分層抽樣的方法從中選取15人，樣本總數(shù)150，抽樣比：$\frac{1}{10}$，
應(yīng)分別從A，B，C，D四門課中各抽取的學(xué)生人數(shù)為2，3，4，6人．…（2分）
（2）這2人的選修課恰好不同的概率為：$P=1-\frac{C_2^2}{{C_{15}^2}}-\frac{C_3^2}{{C_{15}^2}}-\frac{C_4^2}{{C_{15}^2}}-\frac{C_6^2}{{C_{15}^2}}$…（4分）
=$\frac{16}{21}$．…（6分）
（3）根據(jù)題意知：X=0，1，2，3．…（8分）$P（X=0）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{120}$，$P（X=1）=\frac{C_4^1C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{120}$，$P（X=2）=\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{120}$，$P（X=3）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{120}$．…（10分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{120}$	$\frac{60}{120}$	$\frac{36}{120}$	$\frac{4}{120}$

∴$E（X）=0×\frac{20}{120}+1×\frac{60}{120}+2×\frac{36}{120}+3×\frac{4}{120}=\frac{6}{5}$．…（12分）

點評 本題考查分層抽樣的應(yīng)用，離散性隨機變量的分布列以及期望額求法，考查計算能力．