4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MP=MC，則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡的長度為$\sqrt{5}$．

分析 先找符合條件的特殊位置，然后根據(jù)符號條件的軌跡為線段PC的垂直平分面與平面AC的交線得到M的軌跡，再由勾股定理求得答案．

解答 解：根據(jù)題意可知PD=DC，則點D符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MP=MC”
設AB的中點為E，根據(jù)題目條件可知△PAE≌△CBE，
∴PE=CE，點E也符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MP=MC”
故動點M的軌跡肯定過點D和點E，
而到點P與到點C的距離相等的點為線段PC的垂直平分面，
線段PC的垂直平分面與平面AC的交線是一直線，∴M的軌跡為線段DE．
∵AD=2，AE=1，∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及公理二等有關知識，同時考查了空間想象能力，推理能力，是中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．如圖，△ABC為等邊三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC，EA=2DC，F(xiàn)為EB的中點．
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面AEB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．過拋物線y2=2px（p＞0）焦點的直線l與拋物線交于A、B兩點，以AB為直徑的圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=16，則p=（　　）
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．已知函數(shù)$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$的一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，則實數(shù)a=$\sqrt{3}$；函數(shù)f（x）的最大值為1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．設x，y為非零實數(shù)，a＞0，且a≠1，給出下列式子或運算：
①logax2=3logax；
②loga|xy|=loga|x|•loga|y|；
③若e=lnx，則x=e2；
④若lg（lny）=0，則y=e；
⑤若${2^{1+{{log}_4}x}}$=16，則x=64．
其中正確的個數(shù)為（　　）
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．某校A，B，C，D四門課外選修課的學生人數(shù)如下表，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中選取15人參加學校的座談會．
選修課學生人數(shù)
A20
B30
C40
D60
（1）應分別從A，B，C，D四門課中各抽取多少名學生；
（2）從抽取的15名學生中再隨機抽取2人，求這2人的選修課恰好不同的概率；
（3）若從C，D兩門課中抽取的學生中再隨機抽取3人，用X表示其中選修C的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．下列關系中正確的是（　　）
A．$\sqrt{2}$∈QB．|-3|∉ZC．$\sqrt{4}$∈ND．π∉R

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．設函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x+2x+b（b為常數(shù)），則f（-1）=-3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

14．用半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圓鐵皮剪一個內(nèi)接矩形，再以內(nèi)接矩形的兩邊分別作為圓柱的高與底面半徑，則該圓柱體積的最大值為（　�。�
A．πB．$\sqrt{2}$πC．$\sqrt{3}$πD．2π

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