Question

已知函數(shù)f（x）=3lnx-

1

2

x²+2x．
（1）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性；
（2）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)期間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線，得到切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

3

x

-x+2=

3-x2+2x

x

=-

x2-2x-3

x

(x＞0)．
由f′（x）＞0，得x²-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，∴0＜x＜3．
由f′（x）＜0，得x²-2x-3＞0，即（x+1）（x-3）＞0，∴x＞3．
故f（x）在區(qū)間（0，3）上是增函數(shù)，在區(qū)間（3，+∞）上是減函數(shù)；
（2）∵f′（1）=3-1+2=4，f(1)=-

1

2

+2=

3

2

，
∴切線的方程為y-

3

2

=4(x-1)，即y=4x-

5

2

．
從而切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-

5

2

)和(

5

8

，0)．
故切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積 S=

1

2

×

5

2

×

5

8

=

25

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了三角形的面積，是中檔題．