Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3，a∈R
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m取值范圍；
（Ⅱ）求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0）（2分）
f′（2）=-=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（ +2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2
∴（8分）
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴-＜m＜-9（10分）
（II）令a=-1此時f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n-1，
∴0＜＜，
∴••…＜••••=（n≥2，n∈N*）．
分析：（I）根據(jù)點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)可知：，于是可求m的范圍．
（II）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立，進而解答出這類不等式問題的解．
點評：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程即對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，考查求導(dǎo)公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題的處理，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題．