Question

13．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線與A，B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，$若\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{BF}$，則直線l的斜率k_l=±2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 可設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），求得焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，設(shè)直線AB的方程為y=k₁（x-$\frac{p}{2}$），設(shè)B（m，n），由向量共線的坐標(biāo)表示，可得m，n，即B的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，解方程可得斜率．

解答 解：由題意可設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)直線AB的方程為y=k₁（x-$\frac{p}{2}$），
設(shè)B（m，n），C的橫坐標(biāo)為-$\frac{p}{2}$，
由$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{BF}$，可得m-（-$\frac{p}{2}$）=3（$\frac{p}{2}$-m），
解得m=$\frac{p}{4}$，
即有n=-$\frac{{k}_{1}p}{4}$，即B（$\frac{p}{4}$，-$\frac{{k}_{1}p}{4}$），
代入拋物線的方程可得，
$\frac{{{k}_{1}}^{2}{p}^{2}}{16}$=2p•$\frac{p}{4}$，
即有k₁²=8，解得k₁=±2$\sqrt{2}$．
故答案為：±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．