Question

2．如圖所示，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．
（1）求證；平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求幾何體A-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥平面CDE得AE⊥CD，又CD⊥AD，故CD⊥平面ADE，于是平面ABCD⊥平面ADE；
（2）由AE⊥平面CDE得AE⊥DE，利用勾股定理計算DE，求出S_△ADE，由CD⊥平面ADE，CD∥AB可知AB⊥平面ADE，故V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AB．

解答 證明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，又AD?平面ADE，AE?平面ADE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
解：（2）∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥DE，∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵CD⊥平面ADE，CD∥AB，
∴AB⊥平面ADE，
∴V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AB=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．