Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，AB=AC=1，AA₁=2，且P，Q，M分別是BB₁，CC₁，B₁C₁的中點，AB⊥AQ．
（1）求證：AB⊥AC；
（2）求證：AQ∥平面A₁PM；
（3）求AQ與平面BCC₁B₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由于三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，分析可得AB⊥A₁A，又由題干條件AB⊥AQ，由線面垂直的判定定理即可得證明；
（2）取BC的中點G，連接AG、QG、BC₁，由中位線的性質(zhì)可得可得MP∥BC₁與QG∥BC₁，進(jìn)而可得QG∥MP，分析可得A₁M∥AG，由面面平行的判定方法可得面APQ∥面A₁PM，進(jìn)而結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得證明；
（3）取BC的中點G，連接AG、DG，分析易得AG⊥面BCC₁B₁，進(jìn)而由線面角的定義可得∠AQG為直線AQ與平面BCC₁B₁所成角；在△ABC中分析可得BC=$\sqrt{2}$AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進(jìn)而在Rt△AQG中，計算可得AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，GQ=$\sqrt{G{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由正切的定義可得tan∠AQG=$\frac{AG}{GQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，計算即可得答案．

解答 解：（1）證明：∵A₁A⊥面ABC，而AB⊆面ABC，∴AB⊥A₁A，
又∵AB⊥AQ，
∴AB⊥面ACC₁A₁，
又∵AC⊆面ACC₁A₁，
∴AB⊥AC；
（2）證明：取BC的中點G，連接AG、QG、BC₁，
∵P、M分別是BB₁、B₁C₁的中點，
∴MP∥BC₁，
同理：QG∥BC₁，
∴QG∥MP，
又∵M(jìn)為B₁C₁的中點，G為BC中點，
∴A₁M∥AG，
又∵QG∥MP，
∴面APQ∥面A₁PM，
∴AQ∥平面A₁PM；
（3）取BC的中點G，連接AG、DG，
∵AB=AC=1，
∴AG⊥BC，
又∵AG⊥BB₁，
∴AG⊥面BCC₁B₁，
故∠AQG為直線AQ與平面BCC₁B₁所成角，
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC=1，則BC=$\sqrt{2}$且AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AQG中，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，GQ=$\sqrt{G{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則tan∠AQG=$\frac{AG}{GQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則∠AQG=30°．

點評 本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行，直線與平面所成的角；求直線與平面所成的角時關(guān)鍵正確分析直線與平面的關(guān)系．