記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使得f（x）=x成立，則稱（x0，x0）為函數(shù)f（x）圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由.

（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求證：函數(shù)必有奇數(shù)個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).

（1）解：設(shè)函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)，則f（x）==x，即有兩個(gè)相異的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn).

（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.因此（0，0）是f（x）的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).假設(shè)函數(shù)還有穩(wěn)定點(diǎn)（x0，x0），即f（x0）=x0，則必定有f（-x0）=-x0.這說明（-x0，-x0）也是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).

綜上所述，奇函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對出現(xiàn)，因此其穩(wěn)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)是奇數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，y0）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f（x）的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”．
（1）若函數(shù)f(x)=
3x-1x+a
的圖象上有且只有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”，求證：f（x）必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
．在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A1，A2，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)yP＞3，求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
．在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A1，A2，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)yP＞3，求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省茂名市高州中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x∈D，使f（x）=x成立，則稱以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f（x）的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”．
（1）若函數(shù)的圖象上有且只有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”，求證：f（x）必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”．

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