記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x∈D,使f(x)=x成立,則稱以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f(x)的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.
(1)若函數(shù)的圖象上有且只有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”,求證:f(x)必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”.
【答案】分析:(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)是函數(shù)的圖象上的兩個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”,由定義可得,所以x1,x2是方程x2+(a-3)x+1=0(x≠-a)的兩相異實(shí)根且不等于-a,由此可得關(guān)于a的不等式組,解出即可;
(2)由f(x)為R上的奇函數(shù)可判斷原點(diǎn)(0,0)是函數(shù)f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”,只要再說明除原點(diǎn)外“穩(wěn)定點(diǎn)”成對出現(xiàn)即可;
解答:解:(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)是函數(shù)的圖象上的兩個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”,
,即有,
∴x1,x2是方程x2+(a-3)x+1=0(x≠-a)的兩根,
∴方程x2+(a-3)x+1=0有兩個(gè)相異的實(shí)根且不等于-a,
,解得a>5或a<1且a
∴a的取值范圍是(-∞,-)∪(-,1)∪(5,+∞;
(2)∵f(x)是R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,∴原點(diǎn)(0,0)是函數(shù)f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”,
若f(x)還有“穩(wěn)定點(diǎn)”(x,y),
則由f(x)為奇函數(shù),得f(-x)=-f(x)且f(x)=x
∴f(-x)=-x,
這說明:(-x,-x)也是f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.                     
綜上所述可知,f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”除原點(diǎn)外是成對出現(xiàn)的,而且原點(diǎn)也是其“穩(wěn)定點(diǎn)”,
所以它的“穩(wěn)定點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為奇數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題以新定義為切入點(diǎn),主要考查了二次方程的根的個(gè)數(shù)問題、奇函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生分析解決新問題的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f(x)的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.
(1)若函數(shù)f(x)=
3x-1x+a
的圖象上有且只有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”,求證:f(x)必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)圖象上的不動(dòng)點(diǎn).
(1)若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
.在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A1,A2,P為函數(shù)f(x)圖象上的另一點(diǎn),其縱坐標(biāo)yP>3,求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確?若正確,請給予證明;若不正確,請舉一反例.若地方不夠,可答在試卷的反面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)圖象上的不動(dòng)點(diǎn).
(1)若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
.在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A1,A2,P為函數(shù)f(x)圖象上的另一點(diǎn),其縱坐標(biāo)yP>3,求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確?若正確,請給予證明;若不正確,請舉一反例.若地方不夠,可答在試卷的反面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,則稱(x0,x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在,求出范圍;若不存在,請說明理由.

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:函數(shù)必有奇數(shù)個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).

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