Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（1，2），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求出C的普通方程，求出l的傾斜角即可；
（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓中，得到關(guān)于t的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出|PA|•|PB|的值即可．

解答 解：（Ⅰ）消去θ得到橢圓C的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
直線l的斜率為$\sqrt{3}$，∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）把直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，
得$\frac{{{{（1+\frac{1}{2}t）}^2}}}{4}+{（2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=1$，
即$\frac{13}{4}{t^2}+（1+8\sqrt{3}）t+13=0$．
∴t₁•t₂=4，即|PA|•|PB|=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查直線和橢圓的關(guān)系以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，是一道中檔題．