Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

an(an+1)

2

（n∈N^*），
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

Sn

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得a_n-a_n-1=1（n≥2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=

n(n+1)

2

，bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：Sn=

an(an+1)

2

(n∈N*)①，
Sn-1=

an-1(an-1+1)

2

(n≥2)②
①-②得：an=

an2+an-an-12-an-1

2

（n≥2），
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
n=1時(shí)，a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得Sn=

n(n+1)

2

，
∴bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．