14.已知函數(shù)f(x)=[2sin(x+$\frac{π}{3}$)+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期
(2)若存在x0∈[0,$\frac{5π}{12}$]使mf(x0)-2=0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)△ABC為銳角三角形,且∠B=2∠A,求$\frac{f(\frac{C}{2}-\frac{π}{6})}{f(\frac{B}{2}-\frac{π}{6})}$的取值范圍.

分析 (1)展開兩角和的正弦,再由倍角公式降冪,利用輔助角公式化積,則周期可求;
(2)分離參數(shù)m,由x0的范圍求出相位的范圍,得到三角函數(shù)值的范圍得答案;
(3)由已知求出A的范圍,把$\frac{f(\frac{C}{2}-\frac{π}{6})}{f(\frac{B}{2}-\frac{π}{6})}$轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosA的函數(shù)得答案.

解答 解:(1)f(x)=[2sin(x+$\frac{π}{3}$)+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin2x
=$2sinxcos\frac{π}{3}cosx+2cosxsin\frac{π}{3}cosx+sinxcosx-\sqrt{3}si{n}^{2}x$
=$2sinxcosx+\sqrt{3}co{s}^{2}x-\sqrt{3}si{n}^{2}x$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin(2x+\frac{π}{3})$,∴最小正周期為π;
(2)由mf(x0)-2=0,得$m=\frac{2}{f({x}_{0})}=\frac{1}{sin(2{x}_{0}+\frac{π}{3})}$,
∵x0∈[0,$\frac{5π}{12}$],∴$\frac{π}{3}≤2{x}_{0}+\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$,
∴$-\frac{1}{2}≤sin(2{x}_{0}+\frac{π}{3})≤1$,
故m∈(-∞,-2]∪[1,+∞);
(3)∵f(x)=$2sin(2x+\frac{π}{3})$,
∴$\frac{f(\frac{C}{2}-\frac{π}{6})}{f(\frac{B}{2}-\frac{π}{6})}$=$\frac{2sinC}{2sinB}=\frac{sin3A}{sin2A}=\frac{sinAcos2A+cosA•2sinAcosA}{2sinAcosA}$
=$cosA+\frac{cos2A}{2cosA}=cosA+\frac{2co{s}^{2}A-1}{2cosA}$=$2cosA-\frac{1}{2cosA}$.
∵0°<A<90°,0°<B=2A<90°,0°<180°-3A<90°,
∴30°<A<45°,
由2cosA-$\frac{1}{2cosA}$為(30°,45°)上的減函數(shù),
∴最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴$\frac{f(\frac{C}{2}-\frac{π}{6})}{f(\frac{B}{2}-\frac{π}{6})}$的取值范圍($\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{3}}{3}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,考查二倍角公式的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值,是中檔題.

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A.(e,4)B.$(\frac{1}{{\sqrt{e}}},+∞)$C.(0,e)D.$(0,\frac{1}{{\sqrt{e}}})$

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19.已知f(x)為二次函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)lnx<$\frac{f(x)}{x}$,則有( 。
A.f(2)<f(e)ln2,2f(e)>f(e2B.f(2)<f(e)ln2,2f(e)<f(e2
C.f(2)>f(e)ln2,2f(e)<f(e2D.f(2)>f(e)ln2,2f(e)>f(e2

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6.已知在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P,上午11時(shí),測(cè)得一輪船在島北偏東30°,俯角為30°的B處,到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60°,俯角為60°的C處.小船沿BC行駛一段時(shí)間后,船到達(dá)海島的正西方向的D處,此時(shí)船距島A有$\frac{{9+\sqrt{3}}}{13}$千米.

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3.對(duì)于函數(shù)y=f(x),部分y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:
x123456789
y23511879310
數(shù)列{xn}滿足x1=2,且對(duì)任意x∈N*,點(diǎn)(xn,xn+1)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則x1+x2+x3+…+x2015的值為(  )
A.10741B.10736C.10731D.10726

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4.sin$\frac{π}{3}$的值等于( 。
A.$\frac{1}{2}$B.-$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

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