Question

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，函數(shù)g（x）=$\frac{mx}{1+x}$的定義域為（-1，+∞）．
（1）若g（x）=$\frac{mx}{1+x}$在（-1，+∞）上遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義求實數(shù)m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x₁＞x₂＞-1，則g（x₁）-g（x₂）＜0，從而解出m的范圍；
（2）令h（x）=0得出x=0或mx²+x+m+1=0，故φ（x）=mx²+x+m+1在（-1，1）上只有一非零解，列不等式組解出．

解答 解：（1）設(shè)x₁＞x₂＞-1，∵g（x）=$\frac{mx}{1+x}$在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x₁）-g（x₂）=$\frac{m{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-$\frac{m{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$\frac{m（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＜0，
∵1+x₁＞0，1+x₂＞0，x₁-x₂＞0，
∴m＜0，
∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）．
（2）令h（x）=0得$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{mx}{1+x}$=0，化簡得x（mx²+x+m+1）=0，
∴x=0或mx²+x+m+1=0，
若x=0是方程mx²+x+m+1=0的根，則m=-1，
此時方程mx²+x+m+1=0的另一根為x=1，不符合題意．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有兩個不同的零點等價于
方程mx²+x+m+1=0在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個非零的實根．
①當△=1-4m（m+1）=0時，解得m=$\frac{-1±\sqrt{2}}{2}$．
若m=$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$，則方程mx²+x+m+1=0的根為x=-$\frac{1}{2m}$=$\sqrt{2}$-1∈（-1，1），符合題意；
若m=$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$，則與（1）的條件m＜0矛盾，不符合題意．
∴m=$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$．
②當△＞0時，令φ（x）=mx²+x+m+1，則$\left\{\begin{array}{l}{φ（-1）φ（1）＜0}\\{φ（0）≠0}\end{array}\right.$，解 得-1＜m＜0．
綜上所述，所求實數(shù)m的取值范圍是（-1，0）∪{$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$}．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，零點的判定定理，屬于中檔題．