Question

6．求下列函數的不定積分．
（1）∫$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}$dx；
（2）∫$\frac{1}{（x-1）（x+2）}$dx．
（3）∫$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+{x}^{2}}$dx．

Answer 1

分析 根據不定積分的線性運算法則，根據基本不定積分積分的公式，計算即可．

解答 解：（1）∫$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}$dx=${∫}_{\;}^{\;}$（$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$）dx=${∫}_{\;}^{\;}$$\sqrt{x+1}$dx-${∫}_{\;}^{\;}$$\sqrt{x}$）dx=$\frac{2}{3}（x+1）^{\frac{3}{2}}$-$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$+c，
（2）∫$\frac{1}{（x-1）（x+2）}$dx=3${∫}_{\;}^{\;}$（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+2}$）dx=3${∫}_{\;}^{\;}$$\frac{1}{x-1}$dx-3${∫}_{\;}^{\;}$$\frac{1}{x+2}$dx=3ln|x-1|+3ln|x+2|+c=3ln|（x-1）（x+2）|+c，
（3）∫$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+{x}^{2}}$dx=${∫}_{\;}^{\;}$（1-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}+{a}^{2}}$）dx=${∫}_{\;}^{\;}$dx-${∫}_{\;}^{\;}$$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}+{a}^{2}}$dx=x-${∫}_{\;}^{\;}$$\frac{1}{1+（\frac{x}{a}）^{2}}$dx=x-a${∫}_{\;}^{\;}$$\frac{1}{1+（\frac{x}{a}）^{2}}$d（$\frac{x}{a}$）=x-arctan$\frac{x}{a}$+c

點評 本題主要考查求不定積分的方法，要求與一定的計算量，以及一些固定函數不定積分的記憶，屬于基礎題．